\section{Motivation}
	\begin{frame}{Grenzen bisheriger Konzepte}
		\begin{block}{Fuzzy-Regler}
			\begin{itemize}
				\item Nicht lernfähig
				\item Fuzzy-Mengen und -Regeln müssen bekannt sein
				\item Vollständigkeit
			\end{itemize}
		\end{block}
		\begin{block}{Neuronale Netze}
			\begin{itemize}
				\item A-priori Wissen nicht nutzbar
				\item Lernerfolg ungewiss
				\item \textit{Blackbox}
			\end{itemize}
		\end{block}
	\end{frame}

\section{Grundlagen}

	\subsection{Kooperative Ansätze}
	
		\begin{frame}{Kooperative Ansätze}
			\begin{block}{Eigenschaften}
				\begin{itemize}
					\item Neuronales Netz und Fuzzy-Regler bleiben als eigenständige Systeme erhalten
					\item Geringer Kopplungsgrad
					\item Vor- und Nachteile bleiben weitgehend erhalten
				\end{itemize}
			\end{block}
			\begin{block}{Einfachste Kopplung}
				Neuronales Netz zur Aufbereitung von Ein- oder Ausgaben eines Fuzzy-Reglers
			\end{block}
		\end{frame}
		
		\begin{frame}{Kooperative Ansätze, offline}
			\begin{columns}
				\column{.5\textwidth}
					\begin{block}{Fuzzy-Mengen aus Beispieldaten offline lernen}
					\includegraphics[width=\linewidth]{koop-fuzzysets.png}
					\begin{itemize}
						\item Bestimmung geeigneter Parameter der Zugehörigkeitsfunktionen
						\item Approximation der Zugehörigkeitsfunktionen
					\end{itemize}
					\end{block}									
				\column{.5\textwidth}
					\begin{block}{Fuzzy-Regeln aus Beispieldaten offline lernen}
					\includegraphics[width=\linewidth]{koop-fuzzyrules.png}
					\\Clustering-Verfahren (selbstorganisierende Karten) zur Bestimmung der Fuzzy-Regeln
					\end{block}	
			\end{columns}
		\end{frame}		

		\begin{frame}{Kooperative Ansätze, online}
			\begin{columns}
				\column{.5\textwidth}
					\begin{block}{Fuzzy-Mengen online lernen}
					\includegraphics[width=\linewidth]{koop-fuzzysets-online.png}
					\end{block}				
				\column{.5\textwidth}

					\begin{block}{Fuzzy-Regeln online lernen}
					\includegraphics[width=\linewidth]{koop-fuzzyrules-online.png}
					\end{block}
			\end{columns}
		\end{frame}	

	\subsection{Hybride Ansätze}
		\begin{frame}{Hybrider Neuronaler Fuzzy-Regler}
			\begin{block}{Schema}
				\includegraphics[height=0.75\textheight]{hybrid-neuro-fuzzy-ctrl.png}
			\end{block}
		\end{frame}
		
\section{Generisches Fuzzy-Perzeptron}
	\subsection{XOR-Problem}
		\begin{frame}{Generisches Fuzzy Perzeptron}
			\begin{columns}
				\column{.2\textwidth}
					\includegraphics[width=\linewidth]{xor.png}
				\column{.8\textwidth}
					\begin{tabular}{|p{.3cm}|p{.3cm}|p{.8cm}|p{.8cm}|p{1.2cm}|p{1.2cm}|p{1.25cm}|}
						\hline $x_1$ & $x_2$ & $out_{u_{11}}$ & $out_{u_{12}}$ & $out_{u_{21}}$ & $out_{u_{22}}$ & $out_{u_{31}}$ = y \\ 
						\hline 0 & 0 & 0 & 0 & min(0,1)\linebreak = 0 & min(0,1)\linebreak = 0 & max(0,0)\linebreak = 0 \\ 
						\hline 0 & 1 & 0 & 1 & min(0,0)\linebreak = 0 & min(1,1)\linebreak = 1 & max(0,1)\linebreak = 1\\ 
						\hline 1 & 0 & 1 & 0 & min(1,1)\linebreak = 1 & min(0,0)\linebreak = 0 & max(1,0)\linebreak = 1 \\ 
						\hline 1 & 1 & 1 & 1 & min(1,0)\linebreak = 0 & min(1,0)\linebreak = 0 & max(0,0)\linebreak = 0 \\ 
						\hline 
					\end{tabular}
			\end{columns}
		\end{frame}
		
	\subsection{Beschreibung}
		\begin{frame}{Fuzzy-Neuronen}
			\begin{itemize}
				\item Eingabeschicht $U_1 = \left\lbrace x_1,\dots,x_n \right\rbrace$
				\item Versteckte Schicht $U_2 = \left\lbrace R_1,\dots,R_r \right\rbrace$
				\item Ausgabeschicht $U_3 = \left\lbrace y_1,\dots,y_m \right\rbrace$
				\item Verarbeitung je Neuron $u$: $net_u \to act_u \to out_u$
			\end{itemize}
		\end{frame}
		
		\begin{frame}{Gewichte}
			\begin{itemize}
				\item Definiert durch Fuzzy-Mengen $\mu$ für Eingabeschicht $\to$ Versteckte Schicht
				\item Definiert durch Fuzzy-Mengen $\nu$ für Versteckte Schicht $\to$ Ausgabeschicht
			\end{itemize}
			\begin{displaymath}
			w_{vu} = 
			\begin{cases}
			\mu^{\left(i\right)}_{j} \qquad \qquad \qquad \textrm{für}~ u=x_i,v=R_j
			\\
			\nu^{\left(k\right)}_{j} \qquad \qquad \qquad \textrm{für}~ u=R_j,v=y_k
			\\
			\textrm{undefiniert} \qquad \quad \textrm{sonst}
			\end{cases}
			\end{displaymath}
			$1 \leq i \leq n$, $1 \leq j \leq r$, $1 \leq k \leq m$
			\\
			$\mu^{\left(i\right)}_{j} \in F\left(\mathbb{R}\right)$,
			$\nu^{\left(k\right)}_{j} \in F\left(\mathbb{R}\right)$
			\\mit $F\left(\mathbb{R}\right) := \textrm{die Menge aller Fuzzy-Mengen über } \mathbb{R}$
		\end{frame}
		
		\frame{
			\frametitle{Eingabeschicht $u \in U_1$}
			\begin{block}{Netzeingabefunktion}
				Abbildung von $\mathbb R$ auf $\mathbb R$ für externe Eingabe $ext_u$ \\
				$f^{\left(u\right)}_{net}: net_u = ext_u$
			\end{block}
			\begin{block}{Aktivierungsfunktion}
				Abbildung von $\mathbb R$ auf $\mathbb R$ für Netzeingabe $net_u$ \\
				$f^{\left(u\right)}_{act}: act_u = net_u$
			\end{block}
			\begin{block}{Ausgabefunktion}
				Abbildung von $\mathbb R$ auf $\mathbb R$ für Aktivierung $act_u$ \\
				$f^{\left(u\right)}_{out}: out_u = act_u$
			\end{block}
		}
		\frame{
			\frametitle{Versteckte Schicht $u \in U_2$}
			\begin{block}{Netzeingabefunktion}
				Abbildung von $\left(\mathbb R \times F\left(\mathbb{R}\right)\right)$ auf $\left[0,1\right] \in \mathbb{R}$ 
				\\Gewicht zwischen $u$ und $u^{'} \in U_1$
				\\t-Norm
			\end{block}
			\begin{block}{Aktivierungsfunktion}
				Abbildung von $\mathbb R$ auf $\mathbb R$ für Netzeingabe $net_u$ \\
				$f^{\left(u\right)}_{act}: act_u = net_u$
			\end{block}
			\begin{block}{Ausgabefunktion}
				Abbildung von $\mathbb R$ auf $\mathbb R$ für Aktivierung $act_u$ \\
				$f^{\left(u\right)}_{out}: out_u = act_u$
			\end{block}
		}
		\frame{
			\frametitle{Ausgabeschicht $u \in U_3$}
			\begin{block}{Netzeingabefunktion}
				t-Conorm über die Ausgaben aller $u^{'} \in U_2$ mit dem Gewicht $w_{uu^{'}}$\\
				
			\end{block}
			\begin{block}{Aktivierungsfunktion}
				$f^{\left(u\right)}_{act}: act_u = net_u$
			\end{block}
			\begin{block}{Ausgabefunktion}
				Abbildung von $F\left(\mathbb{R}\right)$ auf $\mathbb R$ für Aktivierung $act_u$ \\
				Geeignete Defuzzifizierung der Aktivierung $act_u$
			\end{block}
		}
		
	\subsection{Lernverfahren}
		\begin{frame}{Fuzzy-Fehler}
			\begin{displaymath}
			E^{\left(p\right)}_{u}=1-\exp{\left(\beta\left(\frac{t^{\left(p\right)}_{u}-o^{\left(p\right)}_{u}}{range_{u}}\right)^{2}\right)}
			\end{displaymath}
			mit
			\begin{itemize}
				\item $u \in U_3$
				\item $t$ Zielwert
				\item $o$ Ausgabewert
				\item $range_u$ Differenz zwischen maximalem und minimalem Ausgabewert des Neuron $u$
				\item $\beta$ Toleranzfaktor
			\end{itemize}
		\end{frame}
		
		\begin{frame}{Fuzzy-Backpropagation}
			\begin{enumerate}
				\item Wähle ein beliebiges Muster $p$ einer gegebenen festen Lernaufgabe und propagiere den Eingabevektor $i^{p}$
				\item Bestimme
				\begin{displaymath}
					\delta^{\left(p\right)}_{u} = 
					\begin{cases}
					sgn\left( t^{p}_{u} - out^{p}_{u} \right) * E^{\left(p\right)}_{u}
					\qquad \textrm{für}~ u \in U_3
					\\
					\sum_{v \in U_{3} } act^{\left(p\right)}_{u}*\delta^{\left(p\right)}_{v}
					\qquad \quad ~\textrm{für}~ u \in U_2
					\end{cases}
				\end{displaymath}
				\item Bestimme
				\begin{displaymath}
				\Delta_{p}w_{vu} = f\left( \delta^{\left(p\right)}_{u}, act^{\left(p\right)}_u, net^{\left(p\right)}_u \right)
				\end{displaymath}
				
			\end{enumerate}
			Wiederhole diese Schritte bis der Gesamtfehler 
			\begin{displaymath}
			E=\sum_{p}\sum_{u \in U_{3}}E^{\left(p\right)}_{u}
			\end{displaymath}
			hinreichend klein ist oder ein anderes Abbruchkriterium erfüllt wird.
		\end{frame}