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Anfis
ANFIS wurde als weiteres Modell eines Neuro-Fuzzy-Systems 1992 von Jyh-Shing Roger Jang an der University of California at Berkeley entwickelt.
Es stellt ein Adaptive Network-based Fuzzy Inference System, also ein lernf�higes netzwerkbasiertes Fuzzy-Schlussfolgerungs-System dar.
Hierf�r werden Fuzzy-Regeln in einem Neuronalen Netz implementiert.
Kennzeichnend f�r das ANFIS-Modell ist, da� die jeweiligen Zugeh�rigkeitsfunktionen festgelegt sind, w�hren sich die Parameter dieser Funktionen beim Lernvorgang ver�ndern k�nnen.
Mit ANFIS k�nnen zwei Typen von Fuzzy-Controllern emuliert werden.
- Tsukamoto-Regler
- Sugeno-Takagi-Kang-Regler
Der Mamdani-Regler kann nicht nachgebildet werden, da die Weitergabe von Fuzzymengen mit Neuronen nicht erreicht werden kann. [Sau08]
Als Lernalgorithmus wird f�r ANFIS ein Hybrid-Lern-Algorithmus verwendet.
Tsukamoto-Regler
Der Tsukamoto-Regler ist einer der beiden von ANFIS emulierbaren Fuzzy-Controllern.
Seine Funktionsweise kann wie folgt beschrieben werden.
- Jede Regel aus der Regelbasis, des Controllers wird mit einer monotonen Zugeh�rigkeitsfunktion (ZGF) verkn�pft. Im Bild unten C1, C2.
- Die Ergebnisse dieser Zugeh�rigkeitsfunktion sind jeweils ein crisper Wert.
- Der Ausgangswert z des Controllers wird gebildet, in dem das gewichtete Mittel aus den einzelnen crispen Funktionswerten z1, z2, ... zn berechnet wird. Das Ergebnis ist ebenfalls ein crisper Wert. Er mu� daher nicht aufwendig defuzzyfiziert werden, wie es zum Beispiel bei einem Mamdani-Controller notwendig ist.
Abbildung 1: Das Tsukamoto-Modell [Bar05]
Sugeno-Takagi-Kang-Regler
Der Sugeno-Takagi-Kang-Regler ist der zweite, von ANFIS emulierbare Fuzzy-Controller.
Seine Funktionsweise kann wie folgt beschrieben werden.
Eine typische Regel mit zwei Eingangswerten lautet zum Beispiel:
- If x is A1 and y is B1 then z = f(x,y) [Mic02]
Wobei A1, B1 Werte linguistischer Variablen und x, y, z Crispe Werte sind.
- Die anzuwendenden Regeln b.z.w. Funktionen werden nun anhand der Eingangswerte bestimmt.
- Der Ausgangswert z des Controllers wird ebenfalls gebildet, in dem das gewichtete Mittel aus den einzelnen crispen Funktionswerten z1, z2, ..., zn berechnet wird. Das Ergebnis ist daher wie bei dem zuvor vorgestellten Controller auch ein crisper Wert, welcher nicht aufwendig defuzzyfiziert werden muss, wie es bei einem Mamdani-Controller erforderlich ist.
Abbildung 2: Das Sugeno-Takagi-Kang-Modell [Bar05]
Ein Beispiel, zur Verdeutlichung, wie die anzuwendende Regel ermittelt wird:
- Gegeben seien A1 und A2 als crispe Eingangswerte.
- Aufgrund vordefinierter Zugeh�rigkeitsfunktionen ZGF ergebe sich, da� der gegebene Wert f�r A1 der ZGF nK und der gegebene Wert f�r A2 der ZGF pK angeh�re.
- So ist in diesem Beispiel aus der nachfolgend aufgef�hrten Tabelle zu entnehmen, da� die Regel eN anzuwenden ist.
Diese Regel k�nnte dann zum Beispiel so aussehen: ZeN = 0,01x + 0,025y + 7
n negativ
p positiv
e etwas
N Null
K Klein
G Gro�
Tabelle 1: Bestimmung von Fuzzy-Regeln aufgrund der Zugeh�rigkeit der Einganswerte zu bestimmten Fuzzy-Mengen [Bar05]
ANFIS-Architektur
Die ANFIS Architekturen zur Nachbildung der beiden zuvor vorgestellten Fuzzy-Reglern bestehen jeweils aus einem 5-Schichten Modell.
Wie zu Anfang schon erw�hnt werden im ANFIS Modell die Parameter der Regeln erlernt, w�hrend die Regeln selbst von Anfang an feststehen. In den nachfolgend gezeigten ANFIS-Architekturen werden die Optimierungen der Parameter in der ersten und vierten Schicht vorgenommen.
Die einzelnen Schichten dieser Architekturen �bernehmen nun folgende Aufgaben.
In der ersten Schicht wird die Zugeh�rigkeit zu den Fuzzymengen betimmt.
Innerhalb der zweiten Schicht werden die Gewichte der Regeln durch Produktbildung erstellt.
Die dritte Schicht dient der Berechnung der normalisierten Gewichte.
W�hrend in der vierten Schicht die Berechnung der Ergebnisse der einzelnen Regeln stattfindet, wird in der f�nften Schicht das Gesamtergebnis durch Summenbildung erzeugt.
Zu beachten ist, da� in der vierten Schicht des Sogeno-Takagi-Kang-Reglers die Eingangswerte zur Berechnung der Funktionsergebnisse direkt mit einflie�en. [Sau08]
Abbildung 3: ANFIS-Architektur zur Nachbildung des Tsukamoto-Reglers [Sau08]
Abbildung 4: ANFIS-Architektur zur Nachbildung des Sugeno-Takagi-Kang-Regler [Sau08]
Hybrid-Lern-Algorithmus
ANFIS verwendet zur Optimierung seiner Parameter den sogenannten Hybrid-Lern-Algorithmus.
Dieser beinhaltet den Backpropagation-Algorithmus und die Methode des kleinsten quadratischen Sch�tzers. [Bot08]
Der Premissenparameter S1, der ersten Schicht in den ANFIS-Modellen wird mittels des Backpropagationverfahren optimiert.
Der Konsequenzparameter S2, der vierten Schicht in den ANFIS-Modellen wird mit der Methode des kleinsten quadratischen Sch�tzers optimiert. [Bor03]
Die Vorgehensweise ist dabei wie folgt:
Zur Optimierung des Konsequenzparameters S2 wird ein Forward Pass durchgef�hrt.
F�r jedes Trainingspaar (x, output) werden die Werte berechnet.
Der Premissenparameter S1 bleibt unver�ndert, so da� die Funktion des Netzes nur vom Konsequenzparameter S2 abh�ngig ist.
Diese Funktion ist bzgl. der Parameter bei festen Werten von S1 linear.
Man erh�lt so zwei Matrizen A, B mit -------->Formel_2.jpg<----------.
Nun wird der kleinste Quadratische Sch�tzer �ber die Minimierung von -------->Formel_3.jpg<---------- berechnet.
Dies ergibt die optimierten Parameter von S2. [Sau08]
Zur Optimierung des Premissenparameters S1 wird ein Backward Pass durchgef�hrt.
Hierf�r bleibt nun der Konsequenzparameter S2 unver�ndert.
Zur Anwendung kommt nun der Backprobagation-Algorithmus als spezialfall der Gradientenmethode. [Sau08]
Bei ANFIS-Netzen, die den Tsukamoto-Regler nachbilden werden die Ereignisfunktionen der vierten Schicht durch st�ckweise lineare Funktionale ersetzt und dann jeweils die Hybrid-Methode angewandt.
Bei ANFIS Netzen, die den Sugeno-Takagi-Kang-Regler nachbilden, wird das Gesamtverhalten des Netzes als Linearkombination der Parameter der vierten Schicht interpretiert. [Mic02]
-------->Formel_1.jpg<--------------
Quellenverzeichnis
@Book{Bot08,
author = {Hans-Heinrich Bothe},
title = {Neuro- Fuzzy-Methoden: Einf�hrung in Theorie und Anwendungen},
publisher = {Springer Verlag},
year = {2008},
pages = {230-236}
}
@Book{Mic02,
author = {Michels, Klawonn, Kruse, N�rnberger},
title = {Fuzzy-Regelung: Grundlagen, Entwurf, Analyse},
publisher = {Springer},
year = {2002},
pages = {367-369}
}
@Article{Sau08,
author = {J�rgen Sauer},
title = {Neuronale Netze, Fuzzy Control-Systeme und Genetische Algorithmen},
year = {2008},
pages = {273-275}
}
@Article{Bar05,
author = {Mrkus Barnert},
title = {Neuronalen Netze und das Fuzzy-Inferenz-System als Grundlagenerl�uterung von Adaptive-Network-Based Fuzzy Inference Systemen},
year = {2005},
pages = {15-18}
}
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