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\section{Motivation}
\begin{frame}{Grenzen bisheriger Konzepte}
\begin{block}{Fuzzy-Regler}
\begin{itemize}
\item Nicht lernfähig
\item Fuzzy-Mengen und -Regeln müssen bekannt sein
\item Vollständigkeit
\end{itemize}
\end{block}
\begin{block}{Neuronale Netze}
\begin{itemize}
\item A-priori Wissen nicht nutzbar
\item Lernerfolg ungewiss
\item \textit{Blackbox}
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}
\section{Grundlagen}
\subsection{Kooperative Ansätze}
\begin{frame}{Kooperative Ansätze}
\begin{block}{Eigenschaften}
\begin{itemize}
\item Neuronales Netz und Fuzzy-Regler bleiben als eigenständige Systeme erhalten
\item Geringer Kopplungsgrad
\item Vor- und Nachteile bleiben weitgehend erhalten
\end{itemize}
\end{block}
\begin{block}{Einfachste Kopplung}
Neuronales Netz zur Aufbereitung von Ein- oder Ausgaben eines Fuzzy-Reglers
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}{Kooperative Ansätze, offline}
\begin{columns}
\column{.5\textwidth}
\begin{block}{Fuzzy-Mengen aus Beispieldaten offline lernen}
\includegraphics[width=\linewidth]{koop-fuzzysets.png}
\begin{itemize}
\item Bestimmung geeigneter Parameter der Zugehörigkeitsfunktionen
\item Approximation der Zugehörigkeitsfunktionen
\end{itemize}
\end{block}
\column{.5\textwidth}
\begin{block}{Fuzzy-Regeln aus Beispieldaten offline lernen}
\includegraphics[width=\linewidth]{koop-fuzzyrules.png}
\\Clustering-Verfahren (selbstorganisierende Karten) zur Bestimmung der Fuzzy-Regeln
\end{block}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}{Kooperative Ansätze, online}
\begin{columns}
\column{.5\textwidth}
\begin{block}{Fuzzy-Mengen online lernen}
\includegraphics[width=\linewidth]{koop-fuzzysets-online.png}
\end{block}
\column{.5\textwidth}
\begin{block}{Fuzzy-Regeln online lernen}
\includegraphics[width=\linewidth]{koop-fuzzyrules-online.png}
\end{block}
\end{columns}
\end{frame}
\subsection{Hybride Ansätze}
\begin{frame}{Hybrider Neuronaler Fuzzy-Regler}
\begin{block}{Schema}
\includegraphics[height=0.75\textheight]{hybrid-neuro-fuzzy-ctrl.png}
\end{block}
\end{frame}
\section{Generisches Fuzzy-Perzeptron}
\subsection{XOR-Problem}
\begin{frame}{Generisches Fuzzy Perzeptron}
\begin{columns}
\column{.2\textwidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{xor.png}
\column{.8\textwidth}
\begin{tabular}{|p{.3cm}|p{.3cm}|p{.8cm}|p{.8cm}|p{1.2cm}|p{1.2cm}|p{1.25cm}|}
\hline $x_1$ & $x_2$ & $out_{u_{11}}$ & $out_{u_{12}}$ & $out_{u_{21}}$ & $out_{u_{22}}$ & $out_{u_{31}}$ = y \\
\hline 0 & 0 & 0 & 0 & min(0,1)\linebreak = 0 & min(0,1)\linebreak = 0 & max(0,0)\linebreak = 0 \\
\hline 0 & 1 & 0 & 1 & min(0,0)\linebreak = 0 & min(1,1)\linebreak = 1 & max(0,1)\linebreak = 1\\
\hline 1 & 0 & 1 & 0 & min(1,1)\linebreak = 1 & min(0,0)\linebreak = 0 & max(1,0)\linebreak = 1 \\
\hline 1 & 1 & 1 & 1 & min(1,0)\linebreak = 0 & min(1,0)\linebreak = 0 & max(0,0)\linebreak = 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{columns}
\end{frame}
\subsection{Beschreibung}
\begin{frame}{Fuzzy-Neuronen}
\begin{itemize}
\item Eingabeschicht $U_1 = \left\lbrace x_1,\dots,x_n \right\rbrace$
\item Versteckte Schicht $U_2 = \left\lbrace R_1,\dots,R_r \right\rbrace$
\item Ausgabeschicht $U_3 = \left\lbrace y_1,\dots,y_m \right\rbrace$
\item Verarbeitung je Neuron $u$: $net_u \to act_u \to out_u$
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Gewichte}
\begin{itemize}
\item Definiert durch Fuzzy-Mengen $\mu$ für Eingabeschicht $\to$ Versteckte Schicht
\item Definiert durch Fuzzy-Mengen $\nu$ für Versteckte Schicht $\to$ Ausgabeschicht
\end{itemize}
\begin{displaymath}
w_{vu} =
\begin{cases}
\mu^{\left(i\right)}_{j} \qquad \qquad \qquad \textrm{für}~ u=x_i,v=R_j
\\
\nu^{\left(k\right)}_{j} \qquad \qquad \qquad \textrm{für}~ u=R_j,v=y_k
\\
\textrm{undefiniert} \qquad \quad \textrm{sonst}
\end{cases}
\end{displaymath}
$1 \leq i \leq n$, $1 \leq j \leq r$, $1 \leq k \leq m$
\\
$\mu^{\left(i\right)}_{j} \in F\left(\mathbb{R}\right)$,
$\nu^{\left(k\right)}_{j} \in F\left(\mathbb{R}\right)$
\\mit $F\left(\mathbb{R}\right) := \textrm{die Menge aller Fuzzy-Mengen über } \mathbb{R}$
\end{frame}
\frame{
\frametitle{Eingabeschicht $u \in U_1$}
\begin{block}{Netzeingabefunktion}
Abbildung von $\mathbb R$ auf $\mathbb R$ für externe Eingabe $ext_u$ \\
$f^{\left(u\right)}_{net}: net_u = ext_u$
\end{block}
\begin{block}{Aktivierungsfunktion}
Abbildung von $\mathbb R$ auf $\mathbb R$ für Netzeingabe $net_u$ \\
$f^{\left(u\right)}_{act}: act_u = net_u$
\end{block}
\begin{block}{Ausgabefunktion}
Abbildung von $\mathbb R$ auf $\mathbb R$ für Aktivierung $act_u$ \\
$f^{\left(u\right)}_{out}: out_u = act_u$
\end{block}
}
\frame{
\frametitle{Versteckte Schicht $u \in U_2$}
\begin{block}{Netzeingabefunktion}
Abbildung von $\left(\mathbb R \times F\left(\mathbb{R}\right)\right)$ auf $\left[0,1\right] \in \mathbb{R}$
\\Gewicht zwischen $u$ und $u^{'} \in U_1$
\\t-Norm
\end{block}
\begin{block}{Aktivierungsfunktion}
Abbildung von $\mathbb R$ auf $\mathbb R$ für Netzeingabe $net_u$ \\
$f^{\left(u\right)}_{act}: act_u = net_u$
\end{block}
\begin{block}{Ausgabefunktion}
Abbildung von $\mathbb R$ auf $\mathbb R$ für Aktivierung $act_u$ \\
$f^{\left(u\right)}_{out}: out_u = act_u$
\end{block}
}
\frame{
\frametitle{Ausgabeschicht $u \in U_3$}
\begin{block}{Netzeingabefunktion}
t-Conorm über die Ausgaben aller $u^{'} \in U_2$ mit dem Gewicht $w_{uu^{'}}$\\
\end{block}
\begin{block}{Aktivierungsfunktion}
$f^{\left(u\right)}_{act}: act_u = net_u$
\end{block}
\begin{block}{Ausgabefunktion}
Abbildung von $F\left(\mathbb{R}\right)$ auf $\mathbb R$ für Aktivierung $act_u$ \\
Geeignete Defuzzifizierung der Aktivierung $act_u$
\end{block}
}
\subsection{Lernverfahren}
\begin{frame}{Fuzzy-Fehler}
\begin{displaymath}
E^{\left(p\right)}_{u}=1-\exp{\left(\beta\left(\frac{t^{\left(p\right)}_{u}-o^{\left(p\right)}_{u}}{range_{u}}\right)^{2}\right)}
\end{displaymath}
mit
\begin{itemize}
\item $u \in U_3$
\item $t$ Zielwert
\item $o$ Ausgabewert
\item $range_u$ Differenz zwischen maximalem und minimalem Ausgabewert des Neuron $u$
\item $\beta$ Toleranzfaktor
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Fuzzy-Backpropagation}
\begin{enumerate}
\item Wähle ein beliebiges Muster $p$ einer gegebenen festen Lernaufgabe und propagiere den Eingabevektor $i^{p}$
\item Bestimme
\begin{displaymath}
\delta^{\left(p\right)}_{u} =
\begin{cases}
sgn\left( t^{p}_{u} - out^{p}_{u} \right) * E^{\left(p\right)}_{u}
\qquad \textrm{für}~ u \in U_3
\\
\sum_{v \in U_{3} } act^{\left(p\right)}_{u}*\delta^{\left(p\right)}_{v}
\qquad \quad ~\textrm{für}~ u \in U_2
\end{cases}
\end{displaymath}
\item Bestimme
\begin{displaymath}
\Delta_{p}w_{vu} = f\left( \delta^{\left(p\right)}_{u}, act^{\left(p\right)}_u, net^{\left(p\right)}_u \right)
\end{displaymath}
\end{enumerate}
Wiederhole diese Schritte bis der Gesamtfehler
\begin{displaymath}
E=\sum_{p}\sum_{u \in U_{3}}E^{\left(p\right)}_{u}
\end{displaymath}
hinreichend klein ist oder ein anderes Abbruchkriterium erfüllt wird.
\end{frame}
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